$F$ Patient hat (hohes) Fieber

$S$ Patient hat Gliederschmerzen

$G$ Patient hat eine Grippe

$E$ Patient hat eine Erkältung

(Wir gehen davon aus, dass die Ärzte Implikation und nicht Äquivalenz meinen)

$\begin{array}{l}F_{1}:=F \wedge S \\F_{2}:=F \supset(G \vee E) \\F_{3}:=\neg S \supset \neg G \\F_{4}:=(F \wedge S) \supset G \\F_{5}:=\neg(G \wedge E)\end{array}$

1. Mittels Wahrheitstafel

   FSGEF1F⊃(G∨E)¬S⊃¬G(F∧S)⊃G¬(G∧E)110010101110111101111011111111111110\begin{array}{cccc|ccccc}F & S & G & E & F_{1} & F \supset(G \vee E) & \neg S \supset \neg G & (F \wedge S) \supset G & \neg(G \wedge E) \\\hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\end{array}F1111​S1111​G0011​E0101​F1​1111​F⊃(G∨E)0111​¬S⊃¬G1111​(F∧S)⊃G0011​¬(G∧E)1110​​

2. (Algebraische) Umwandlung in DNF und Vereinfachung

   Liefert dann $F \wedge S \wedge G \wedge \neg E$

3. (Algebraische) Umwandlung in KNF und SAT-Solver nützen

   F∧SundefinedF1∧(¬F∨G∨E)undefinedF2∧(S∨¬G)undefinedF3∧(¬F∨¬S∨G)undefinedF4∧(¬G∨¬E)undefinedF5\underbrace{F \wedge S}_{F_{1}} \wedge \underbrace{(\neg F \vee G \vee E)}_{F_{2}} \wedge \underbrace{(S \vee \neg G)}_{F_{3}} \wedge \underbrace{(\neg F \vee \neg S \vee G)}_{F_{4}} \wedge \underbrace{(\neg G \vee \neg E)}_{F_{5}}F1​F∧S​​∧F2​(¬F∨G∨E)​​∧F3​(S∨¬G)​​∧F4​(¬F∨¬S∨G)​​∧F5​(¬G∨¬E)​​

   Um zu überprüfen ob es andere Lösungen gibt, erstellen wir zusätzlich noch $F_6$

   $F_{6}=\neg(F \wedge S \wedge G \wedge \neg E)=\neg F \vee \neg S \vee \neg G \vee E$

   SAT-Solver liefert dann das Ergebnis „unerfüllbar“ - es gibt keine weiteren Lösungen.

• Maggie und Gift

• Maggie und Hund (Knecht Ruprecht)

Es gibt diese und die andere Fluss-Seite.

Wenn eines dieser Variablen true ist dann:

$\left.\begin{array}{ll}M_{i} & \ldots \text { Maggie } \\K_{i} & \ldots \text { Knecht Ruprecht } \\G_{i} & \ldots \text { Gift } \\H_{i} & \ldots \text { Homer }\end{array}\right\}$ zum Zeitpunkt $i$ auf der anderen Fluss-Seite

Wenn alle hier sind (alle false):

$\text {AlleHier}(i):=\neg M_{i} \wedge \neg K_{i} \wedge \neg G_{i} \wedge \neg H_{i}$

Wenn alle dort sind (alle true):

$\text {AlleDort}(i):=M_{i} \wedge K_{i} \wedge G_{i} \wedge H_{i}$

Homer muss immer bei Maggie sein, wenn sie bei Hund oder Gift ist

$\text {Sicher}(i):=\left(\left(M_{i} \equiv K_{i}\right) \vee\left(M_{i} \equiv G_{i}\right)\right) \supset\left(M_{i} \equiv H_{i}\right)$

Wenn eines dieser Variablen true ist, dann:

$\left.\begin{array}{ll}MH_{i} & \ldots \text { Maggie } \\KH_{i} & \ldots \text { Knecht Ruprecht } \\GH_{i} & \ldots \text { Gift } \\HH_{i} & \ldots \text { Homer }\end{array}\right\}$ fährt Homer zwischen $[i-1;i]$ zur anderen Seite

Pro Zeitpunkt nur eine Überfahrt erlaubt (nur eine Var. darf true sein):

$\begin{array}{l}\text {Überfahrt}(i):= \\\left(\mathrm{MH}_{i} \wedge \neg \mathrm{KH}_{i} \wedge \neg \mathrm{GH}_{i} \wedge \neg \mathrm{HH}_{i}\right) \vee\left(\neg \mathrm{MH}_{i} \wedge \mathrm{KH}_{i} \wedge \neg \mathrm{GH}_{i} \wedge \neg \mathrm{HH}_{i}\right) \vee \\\left(\neg \mathrm{MH}_{i} \wedge \neg \mathrm{KH}_{i} \wedge \mathrm{GH}_{i} \wedge \neg \mathrm{HH}_{i}\right) \vee\left(\neg \mathrm{MH}_{i} \wedge \neg \mathrm{KH}_{i} \wedge \neg \mathrm{GH}_{i} \wedge \mathrm{HH}_{i}\right)\end{array}$

Erlaubte Unterschiede zwischen Zeitpunkten $i$ und $i-1$ :

( Frame Problem )

$\begin{array}{l}\text { DefÜberfahrt}(i):= \\\quad\left(M H_{i} \supset\left(\left(M_{i-1} \not \equiv M_{i}\right) \wedge\left(K_{i-1} \equiv K_{i}\right) \wedge\left(G_{i-1} \equiv G_{i}\right) \wedge\left(H_{i-1} \not \equiv H_{i}\right) \wedge\left(H_{i} \equiv M_{i}\right)\right)\right) \\\wedge\left(K H_{i} \supset\left(\left(M_{i-1} \equiv M_{i}\right) \wedge\left(K_{i-1} \not \equiv K_{i}\right) \wedge\left(G_{i-1} \equiv G_{i}\right) \wedge\left(H_{i-1} \not \equiv H_{i}\right) \wedge\left(H_{i} \equiv K_{i}\right)\right)\right) \\\wedge\left(G H_{i} \supset\left(\left(M_{i-1} \equiv M_{i}\right) \wedge\left(K_{i-1} \equiv K_{i}\right) \wedge\left(G_{i-1} \not \equiv G_{i}\right) \wedge\left(H_{i-1} \not \equiv H_{i}\right) \wedge\left(H_{i} \equiv G_{i}\right)\right)\right) \\\wedge\left(H H_{i} \supset\left(\left(M_{i-1} \equiv M_{i}\right) \wedge\left(K_{i-1} \equiv K_{i}\right) \wedge\left(G_{i-1} \equiv G_{i}\right) \wedge\left(H_{i-1} \neq H_{i}\right)\right)\right.\end{array}$

Daraus folgt die Gesamtformel:

Nach n Überfahrten sollen alle auf der anderen Seite sein.

$\begin{aligned}\text {Gesamtformel }(n):=& \text { AlleHier }(0) \wedge \text { AlleDort }(n) \wedge \bigwedge_{i=0}^{n} \text { Sicher }(i) \\& \wedge \bigwedge_{i=1}^{n} \text { Überfahrt }(i) \wedge \bigwedge_{i=1}^{n} \text { DefÜberfahrt }(i)\end{aligned}$

Vorgang:

Lösung: $n= 7$

$\left(M H_{1}\right)=I\left(H H_{2}\right)=I\left(G H_{3}\right)=I\left(M H_{4}\right)=I\left(K H_{5}\right)=I\left(H H_{6}\right)=I\left(M H_{7}\right)=1$