Beispiel: Inferenzregeln

Inferenzen / Inferenzregeln

$\textsf{Prämisse} \wedge \textsf{Prämisse} \wedge ... \wedge \textsf{Prämisse} \Rightarrow \textsf{Konklusion}$

Logische Konsequenz: $F_{1}, \ldots, F_{n} \models, G$ genau dann wenn $(F_1 \wedge ... \wedge F_n) \supset G$

Konklusion kann falsch sein obwohl Inferenzregel an sich gültig ist indem die eingesetzten Aussagen für die Prämissen nicht stimmen.

Gültig

Diese Inferenzregel ist gültig, aber mit falschen Formeln als Prämisse ist auch die Konklusion falsch.

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Alle x sind y Prämisse z ist ein x Prämisse —————————————————————————————— z ist ein y Konklusion

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Alle Menschen sind sterblich wahr Sokrates ist ein Mensch wahr —————————————————————————————— Sokrates ist sterblich wahr

Als prädikatenlogische Formel
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Alle Menschen sind sterblich $\forall x ~(Mensch(x)) \supset Sterblich (x)$ Sokrates ist ein Mensch $Mensch(sokrates)$ —————————————————————————————— Sokrates ist sterblich $Sterblich(sokrates)$

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Alle US-Präsidenten sind Amerikaner. wahr Schwarzenegger ist US-Präsident. falsch (stimmt nicht) —————————————————————————————— Schwarzenegger ist Amerikaner. falsch

Ungültig

Diese Inferenzregel ist ungültig (Generalisierung)

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Alle x sind y Prämisse z ist ein y Prämisse —————————————————————————————— z ist ein x Konklusion